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Admin
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Por que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto?

em Sex Jun 15, 2018 7:27 pm
Um conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A for elemento de B. Isso quer dizer que A está contido em B. Assim, dado um elemento x:

x∈A⇒x∈B

EXEMPLO {3,7}⊂{1,2,3,6,7}. Tome cada elemento de {3,7} e responda se esse elemento em particular é também elemento de {1,2,3,6,7}. Se a resposta for SIM para todos os elementos de {3,7}, então {3,7}⊂{1,2,3,6,7}. De fato, 3 é elemento de {1,2,3,6,7}? SIM. 7 é elemento de {1,2,3,6,7}? SIM.

Agora quando um conjunto A NÃO é subconjunto de B, existe PELO MENOS UM elemento de A que não é elemento de B. Isso quer dizer que A está contido em B. Assim, existe um elemento x:

x∈A e x∉B

EXEMPLO {3,7} ⊄ {1,2,3,6}. Tome cada elemento de {3,7} e responda se esse elemento em particular é também elemento de {1,2,3,6,7}. Se a resposta for NÃO para PELO MENOS UM dos elementos de {3,7}, então {3,7} ⊄ {1,2,3,6}. De fato, apesar de 3 ser elemento de {1,2,3,6}, quando vamos para o elemento 7 constatamos que este não é elemento de {1,2,3,6}

No caso de A=Ø, e qualquer que seja B, seria VERDADEIRO que Ø⊂B?

Sim, é VERDADEIRO. Porque se fosse FALSO que Ø⊂B a sua negação seria VERDADEIRA. Nesse último caso sendo VERDADEIRO que Ø ⊄ B, então existe x de modo que x∈Ø e x∉B. O que é ABSURDO uma vez que o conjunto vazio, por definição, não tem elementos, logo x∈Ø é FALSO, o que acarreta que Ø ⊄ B é também FALSO e, portanto, sua negação só pode ser VERDADEIRA. Ou seja Ø⊂B é VERDADEIRO para qualquer conjunto B.
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